[서두]

출처 : [220612]

 위 문제처럼 등가속도 운동에서 두 구간을 비교하는 문제는 흔하게 볼 수 있음. 정석적인 풀이는 Δv=x로 미지수를 설정하고 평균 속도의 비가 1:3임을 쓰면 됨. 그런데 미지수를 도입하지 않고 비율 만을 이용해서 풀 수 있는 방법은 없을까?

[본론]

 먼저 본인이 사용하는 비 풀이의 근간은 각 구간에서 속도의 '합'과 '차'임. 속도의 합의 비는 평균 속도 비에 대응되고, 차는 Δv(=aΔt)에 대응됨. 두 구간에서 속도 합(평속)의 비가 a:b, 속도 차의 비가 c:d라고 하자, 이 떄 두 비의 '스케일'이 맞다면, 즉 비례 상수가 동일하다면, 비끼리 서로 뺴고 더할 수 있음. 이 때 각 구간 끝에서 속도의 비율은 (a-c):(a+c), (b-d):(b+d)가 될거임, 두 수의 합이 A, 차가 B일 때 각 수는 (A-B)/2, (A+B)/2임을 이용했음. 문제에 적용해보자. 

출처 : [131106]

두 자동차가 만나는 기준선을 R이라고 하자. RQ에서 A, B의 속도합은 2:1, 속도차 비는 1:4임. B는 합과 차가 동일하므로(초기속도=0) 스케일을 맞춰주면

8:4, 1:4가 됨, 따라서 R과 Q에서의 속도비는 (A)7:9 / (B);8:0이 됨. 이하 생략.

 상황을 조금 일반화 해보면, 두 구간에서 속도합, 속도차, 초기속도의 비를 각각 알 때 속도의 비를 구해낼 수 있는가?라는 문제로 환원됨, 서두에 제시한 문제가 그 대표적인 예시. 본질은 결국 비 끼리의 스케일 맞추기임. 본인이 연구해본 결과, 유의미한 방법은 총 세 가지임. (1) 미지수, (2) 내분, (3) 행렬식(신발끈 공식 생각하면 됨). 이번 글에서 각 일반화 해법을 언급하지는 않겠지만, 결론부터 말하자면 서두의 문제와 같은 일반적인 상황에서는 미지수를 잡고 푸는 게 제일 빠름. 하지만 위 문제처럼 특수한 상황에서는 일반화 해법을 사용하지 않고도 스케일을 맞출 수 있음. 대표적인 예시는 아래와 같은 상황임.

이런 경우는 b-a(차)와 c+d(합)이 같도록 조절해주면 스케일이 맞게 됨, 원리가 궁금한 사람은 질문 ㄱㄱ. 문제로 살펴보자.

출처 : [241119]

B의 Q,R,S에서의 속도비를 구해보자. 이해하기 편하게 거꾸로 S에서 출발했다고 가정하겠음(속력이 증가하도록), 이 때 평속비 1:2, 시간비 2:1임, 평속비 차는 1이고 시간비 합은 3이니까 평속비에 3 곱해주면 스케일이 맞음, 그럼 3:6에 2:1이니까 속도비는 1:5:7이 됨. (3+2=6-1=5임을 볼 수 있음, R에서 두 구간이 겹치므로 당연함.)

출처 : [240920]

문제를 풀어보면 [a,b]에서와 [b,c]에서의 시간비가 1:3임을 알 수 있음. a, b, c에서의 속도비를 구해보자. 평속비 1:2고 시간비 1;3이니까 평속비 차 = 시간비 합이 되도록 스케일을 맞춰주면 4:8, 1:3임, 따라서 속도비는 3:5:11.

출처 : [150620]

이번엔 상댓값이 아니라 참값을 다루는 경우이므로 평속비는 약분 안하고 가만히 두고 시간비만 조절하겠음. P, Q, R에서 속도비를 구해보자. 평속비는 10:15고 시간비는 3:2니까 알아서 스케일이 맞음. 따라서 속도비는  7:13:17.

[결론]

 비율만 가지고 문제를 빠르게 풀 수 있을까?라는 생각에서 해본 짓인데, 일반적인 경우에는 비를 쓰는 것보다 미지수 잡는 게 더 빠르다는 결론이 조금 아쉽긴 함. 근데 스케일을 맞추는 방법이 바로 보이는 경우에는 분수 없이 깔끔하게 처리할 수 있다는 장점이 있음. 궁금한 사람 있으면 일반화 해법에 대해서도 써보겠음.