▽T·△s = △T 이니,

int(▽T·ds, a, b)=T(a)-T(b) 이잖아요. (적분범위 a~b를 저렇게 적었습니다)

즉, a와 b를 잇는 경로에 무관하게 동일한 값으로 나온다는 소리인데

왠지 찝찝함이 남는게 느낌이 잘 안온 것 같습니다.

그래서 이래도 될지 모르겠지만 x,y평면에 임의로

y=x직선과 y=2-x^2 곡선을 (-2,-2), (1,1) 에서 만나도록 그려보았습니다.

(-2,-2)와 (1,1) 사이의 최단경로는 y=x이고

임의로 그린 경로가 y=2-x^2 입니다.

▽T·dy = dT 에서 양변에 dx를 나눠주어서

▽T·(dy/dx) = dT/dx 에 y=x 와 y=2-x^2를 대입해보면

(1) y=x의 경우 y'=1 이므로

(aT/ax,aT/ay)·dx =  dT 가 되고

(2) y=2-x^2의 경우 y'=-2x 이므로

(aT/ax,aT/ay)(-2x)·dx =  dT 가 됩니다. (dx는 벡터)

(1)의 경우에는 인테그랄을 씌우면 int{(aT/ax)*dx}=int{dT} 가 되어 성립하는데

(2)의 경우는

2*int{(T+x(aT/ax))dx}=int{dT} 에서 부분적분을 하여 계산하면

2{T(1)-T(-2)}=T(1)-T(-2) 가 되어 등식이 성립하지 않게 됩니다.

y=x 와 y=2-x^2 는 두 점에서 만나므로 폐곡선으로 볼 수 있다고 생각하고 계산해 보았습니다.

폐곡선에서는 양 두 점 사이의 경로에 상관없이 값이 같다면,

왜 이 경우에는 성립하지 않는 건가요?

제가 너무 얼토당토않은 생각을 갖다 붙인 건가요ㅠㅠ

어느 부분에서 틀린건지, 아니면 이 생각 자체가 잘못된 것인지,

폐곡선에서 두 점 사이의 선적분은 경로 상관 없이 같다는 사실을 어떻게 직관적으로 느껴야 하는지

가르침 부탁드립니다ㅠㅠ