고민1

∃x∀y~(y∈x) 로 보통 책에 주어지잖아요
(∈에다가 작대기 그은기호 대신 ~로 할게요)

그런데 전 ∃x(∀y~(y∈x) ) 이게 맞지안나 생각했었는데

좀더 생각해보니
∀y(∃x~(y∈x) )이래도 말이 된다는걸 깨달았어요

아 그래서 책에서
∃x∀y~(y∈x) 이렇게 주어진거구나, 그리고 괄호 밖에 있는 quantified variable 는 동등하구나 그니까

∀y∃x~(y∈x) 이렇게 써도 상관없겠네 라고 생각을 했는데 제 생각에 혹시 오류가 있나요?? ㅠㅠ

고민2
전칭기호가 모든,어떤을 생각할때 쓰는기혼데
공집합을 우리가 정의하는게 집합을 만들어갈 가장 근본적인 집합을 만드는건데
공집합의 공리에 ∃, ∀를 쓴다는게 참 아이러니 하네요 ㅠ 어케 생각해야 하죠??

고민3
∃x(∀y~(y∈x) )랑
∀y(∃x~(y∈x) ) 모두 말이 된다고 제가 앞에 말했는데

이경우는 각각 부정을 취하면
∀x(∃y(y∈x) )
∃y(∀x(y∈x) )가 되잖아요
이는 공리의 부정이니 모순이 돼야 할거고 둘다 모순이 맞아서 ㅇㅋㅇㅋ 했는데
∃x∀y~(y∈x) 이렇게 괄호 없이 동등하게 두면
부정을 어떻게 취하지요?

그냥 ~(∃x∀y~(y∈x) )이게최선인가요?
~이 각각 안으로 드가서 적용되나?싶어서 해봤는데 그러면

∀x∃y(y∈x)가 되고 이도 역시 공리의 부정 답게 모순이 되고 잘 떨어진거 같은데 그러면

모든 x가 머머이다 의 부정이 어떤x가 머머가 아니다
어떤 y가 머머이다 의 부정이 모든y가 머머가 아니다
이것들 뿐만이니라

"모든x어떤y가 머머이다 의 부정이 어떤y어떤x가 머머가 아니다". 이것도 성립하나여?