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2018-07-23

[일반] 밑에 글 답변앱에서 작성

ㅇㅇ(118.235) 2024.03.10 15:57:16

조회 247 추천 1 댓글 3

20bcc42ea88068f43aef85e4469c7568ec207b94b484b1cd47012f35aff06e90edbba588ba79d64e92cc7b59147b

이 문제에 대하여, 다음 풀이가 있습니다.

a22는 어찌 됐든, a1에 [1/(k+1)을 n번 더하고,] [1/k을 (21-n)번 뺀] 수일 것이다.

따라서 a1=0, a22=0이기 위해서는

n/(k+1) - (21-n)/k = 0 ⇔ k=(21-n)/(2n-21)

n이 자연수이므로, 가능한 k는 1, 3, 10이 있다.

이때 다음과 같은 질문을 받았습니다.

위 풀이는 'a22=0일 때 가능한 k의 값'을 구한 것인데,

문제에서 요구하는 건 "a22=0이 되는 k의 해집합이 무엇인가?"이다.

즉 "k=□일 때 a22=0이다"의 명제에서, 위 풀이는 필요조건만을 보인 것이지만 문제에서 요구하는 바는 필요충분조건이다.

그렇다면 k=1, 3, 10일 때 실제로 a22=0이 성립하는지(actually holds) 계산해 보아야 하는 것이 아니냐?

중요한 질문이라, 카페에도 공유하면 좋겠다 싶어 오랜만에 글을 올립니다.

심지어 질문자 분께서 말하시길, 많은 해설강의에서 이 부분을 생략하고 넘어간다고 하더군요.

일단은 질문자 분께서 생각하신 바가 맞습니다. actually holds 부분을 점검해야 하는 것이 맞습니다.

하지만 계산은 할 필요 없습니다.

우선 증명이 아닌 설명을 해 보겠습니다.

수열 {an}의 점화식에 따르면, 음수이면 더하고, 양수이면 뺍니다.

그러니까, 0을 향하는 경향성이 있다는 말입니다.

또한 이미 첫째항이 a1=0인데, 이는 그 경향성이 매우 안정돼 있다는 말입니다.

만약에 a22=0인 경우의 수가 있다면(n회 더하고, (21-n)회 뺐을 때 0이 되는, 그러한 자연수 n이 존재한다면)

그것이 수열 {an}이 바라는 바이고, 실제로 정확히 n회 더하고 (21-n)회 빼게 될 것입니다.

다음으로 설명이 아닌 증명을 해 보겠습니다.

a1에서 [1/(k+1)을 n번 더하고,] [1/k을 (21-n)번 뺀] 수가 0과 같다고 합시다.

그런데 만일, 실제로 점화식에 따라 a22를 계산해 봤더니 1/(k+1)을 n번이 아닌 수만큼 더했다면?

(1) 1/(k+1)을 n보다 많이 더했다면

a22는 최소 [1/k + 1/(k+1)]일 것입니다.

그렇다면 a21은 어떨까요? a21이 음수일 수는 없겠죠. 더해 봤자 1/(k+1)인데, [1/k + 1/(k+1)]은 너무 큽니다.

따라서 a21은 양수였을 것입니다. a22는 a21에서 1/k을 뺀 수이니, a21이 a22보다 더 크겠죠.

a20은요? a21보다도 더 크겠죠. a1은 a2보다 크고, a3보다 크고, ... 태초에 a1은 아주 큰 양수였던 겁니다.

그런데 조건에 따르면 a1=0이죠. 모순입니다.

(2) 1/(k+1)을 n보다 적게 더했다면

마찬가지로 태초에 a1은 아주 작은 음수였어야 합니다. 모순입니다.

만일 문제가 "a22=1/8이 되도록 하는 모든 자연수 k의 값의 합은?" 따위였거나, 혹은 a1=0이 아니었다면, 충분조건을 쉽게 답할 수 없었을 것입니다.

출처 : https://cafe.naver.com/pnmath/2923098?tc=shared_li한글지워서접속nk

예전에 화두였던 문제임.

그렇게 풀었을때 오류가나오는 상황은

다른 조건 다 그대로두고

1. a_1=100,a_2=100으로 변경하면

k값은 똑같이 1,3,10이 나오지만

실제로 이를 만족하는 k값은 존재하지않음

2.a_1=1/2 , a_22=1/2라 하면역시

k값은 똑같이 1,3,10이 나오지만

실제로 이를 만족하는 k값은 k=1뿐임.

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